Pyetja 1
Sa është vlera e $\log (2x - 2) = 4$ ?

A. $488$
B. $4998$
C. $501$
D. $5001$

Zgjidhje:

$\log (2x - 2) = 4 \Rightarrow 2x-2=10^4$

$2x-2=10000 \Rightarrow 2x=10000+2$

$x=10002:2 \Rightarrow x=5001$
Pyetja 2
Në qoftë se vlenë $\left| \begin{array}{cc} 4 & -2 \\ x & y \end{array} \right| - \left| \begin{array}{cc} x & 2 \\ y & -1 \end{array} \right|=0$ , sa është vlera e $\displaystyle{\frac{x}{y}}$ ?

A. – 2
B. 2
C. -7
D. 8

Zgjidhje:

$\left| \begin{array}{cc} 4 & -2 \\ x & y \end{array} \right| - \left| \begin{array}{cc} x & 2 \\ y & -1 \end{array} \right|=0$

$4y+2x - (-x-2y)=0$

$4y+2x+x+2y=0$

$3x+6y=0$

$3x=-6y$

$\displaystyle{\frac{x}{y}=\frac{-6}{3}}$

$\displaystyle{\frac{x}{y}=-2}$
Pyetja 3
Është dhënë funksioni $f(x) = 2x - \ln(\sin x)$ . Sa është $f '(x)$ ?

A. $f '(x) = 2 - \ln(\sin x)$
B. $f '(x) = 2 - \cot x$
C. $f '(x) = 2 - \ln(\cos x)$
D. $f '(x) = 2 - \tan x$

Zgjidhje:

$f(x) = 2x - \ln(\sin x)$

$f'(x) = 2x' - \ln'(\sin x)$

$f'(x) = 2\cdot 1 - \displaystyle{\frac{1}{\sin x}\cdot\sin' x}$

$f'(x) = 2 - \displaystyle{\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x}$

$f'(x) = 2 - \displaystyle{\frac{\cos x}{\sin x}}$

$f'(x) = 2 - \cot x$
Pyetja 4
Nëse $a +b = 7$ dhe $a^2-b^2=21$ sa është vlera e $3b$ ?

A. $4$
B. $5$
C. $6$
D. $3$

Zgjidhje:

Nga $a +b = 7 \Rightarrow a=7-b$

Kemi, $a^2-b^2=21 \Rightarrow (a+b)(a-b)=21$

$7(a-b)=21 \Rightarrow a-b=3$

Zëvendësojmë $a=7-b$

$7-b-b=3 \Rightarrow 7-2b=3 \Rightarrow -2b=-4$

$-2b=-4 \Rightarrow b=2$

Atëherë $3b=3\cdot 2 \Rightarrow 3b=6$
Pyetja 5
Tabela vijuese tregon vlerat e një funksioni $f$ dhe derivatit të tij $f '$ .
x f (x) f ‘(x)
0 2 5
1 4 -3
2 -2 3
3 4 2

Nëse funksioni $h$ është dhënë me $h(x) = ( f (x))^2$ , caktoni $h'(2)$ .

A. $-24$
B. $-12$
C. $20$
D. $16$

Zgjidhje:

Nga $h(x) = ( f (x))^2 \Rightarrow h'(x) =2 f (x)\cdot f'(x)$

Në rastin tonë $h'(2) =2 f (2)\cdot f'(2)$

Nga tabela $f(2)=-2$ dhe $f'(2)=3$

Atëherë $h'(2) =2 f (2)\cdot f'(2) \Rightarrow h'(2) =2 \cdot (-2)\cdot3 \Rightarrow h'(2)=-12$
Pyetja 6
Janë dhënë barazimet $\displaystyle{\frac{4^x}{2^{x+y}}=8}$ dhe $\displaystyle{\frac{4^x}{4^{x+y}}=16}$ . Sa është vlera e $x \cdot y$ ?

A. – 2
B. – 4
C. 2
D. 4

Zgjidhje:

$\displaystyle{\frac{4^x}{2^{x+y}}=8}$

$\displaystyle{\frac{2^{2x}}{2^{x+y}}=8}$

$\displaystyle{2^{2x-(x+y)}=8}$

$\displaystyle{2^{2x-x-y}=8}$

$\displaystyle{2^{x-y}=8}$

$\displaystyle{2^{x-y}=2^3}$

$\displaystyle{x-y=3}$

$\displaystyle{\frac{4^x}{4^{x+y}}=16}$

$\displaystyle{\frac{4^x}{4^{x+y}}=16}$

$\displaystyle{4^{x-(x+y)}=16}$

$\displaystyle{4^{x-x-y}=16}$

$\displaystyle{4^-y=16}$

$\displaystyle{4^{-y}=4^2}$

$\displaystyle{-y=2 \Rightarrow y=-2}$

Gjejmë $x$ -in nga $x-y=3 \Rightarrow x-(-2)=3 \Rightarrow x=3-2 \Rightarrow x=1$

Kështu $x\cdot y=1\cdot (-2)=-2$
Pyetja 7
Nëse $\sin x + \displaystyle{\frac{1}{ \sin x}=\frac{1}{2}}$ sa është vlera e shprehjes $\sin^2 x + \displaystyle{\frac{1}{ \sin^2 x}}$

A. $\displaystyle{\frac{1}{4}}$

B. $\displaystyle{-\frac{1}{4}}$

C. $\displaystyle{-\frac{7}{4}}$

D. $\displaystyle{\frac{7}{4}}$

Zgjidhje:

$\sin^2 x + \displaystyle{\frac{1}{ \sin^2 x}=\left(\sin x + \frac{1}{ \sin x}\right)\left(\sin x + \frac{1}{ \sin x}\right)-2}$

Nga te dhenat e detyres dijme se $\sin x + \displaystyle{\frac{1}{ \sin x}=\frac{1}{2}}$

$\sin^2 x + \displaystyle{\frac{1}{ \sin^2 x}=\left(\frac{1}{ 2}\right)\left(\frac{1}{ 2}\right)-2=\frac{1}{4}-2=-\frac{7}{4}}$
Pyetja 8
Cili është forma kanonike e ekuacionit të hiperbolës nëse $a =\sqrt{7}$ dhe $b=2\sqrt{2}$ ?

A. $64x^2-49y^2=1$
B. $16x^2-14y^2=144$
C. $8x^2-7y^2=1$
D. $8x^2-7y^2=56$

Zgjidhje:

Ekuacioni i hiperbolës në formë kanonike është:

$\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$

Në rastin tonë, për $a =\sqrt{7}$ dhe $b=2\sqrt{2}$ , ekuacioni merr formën

$\displaystyle{\frac{x^2}{{(\sqrt{7}})^{2}}-\frac{y^2}{{(2\sqrt{2}})^2}=1}$

$\displaystyle{\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{4\cdot 2}=1}$

$\displaystyle{\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{8}=1}$

Shumëzojmë ekuacionin me numrin $56$

Kemi, $8x^2-7y^2=56$

Pra, forma kanonike e ekuacionit të hiperbolës është $8x^2-7y^2=56$
Pyetja 9
Në trekëndëshin ABC, janë dhënë $a =2$ , $b=2\sqrt{2}$ dhe $\alpha=30^0$ . Zbato teoremen e sinusit dhe trego se cila është vlera e këndit $\beta$ ?

A. $\beta=30^0$
B. $\beta=45^0$
C. $\beta=60^0$
D. $\beta=75^0$

Zgjidhje:

Teorema e Sinusit thotë:

“Në cdo trekëndësh brinjët janë proporcionale me sinuset e këndeve përballë tyre; herësi është i barabartë me diametrin e rrethit të jashtëshkruar në atë trekëndësh.”

Pra, $\displaystyle{\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}}$

Prej nga, $\displaystyle{\frac{2}{\sin{30^0}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sin\beta}}$

$2\sin\beta=2\sqrt{2}\sin{30}^{0}$

$2\sin\beta=2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}$

$2\sin\beta=\sqrt{2}$

$\sin\beta=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\displaystyle{\beta=\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\beta=45^0$
Pyetja 10
Është dhënë funksioni $f(x)=-x^3+3x+2$ . Cili nga pohimet është i saktë ?

A. Funksioni është tek.
B. Funksioni ka asimptotë horizontale.
C. Funksioni ka shkëputje në pikën $x= 0$ .
D. Funksioni ka vlera ekstreme për $x =-1$ dhe $x =1$
Pyetja 11
Nëse $p,q$ janë zgjidhjet e ekuacionit $x^2-13x+36= 0$ , sa është $\sqrt{p}+\sqrt{q}-\sqrt{p\cdot q}$ ?

A. 5
B. 1
C. -1
D. 0

Zgjidhje:

Fillimisht gjemë zgjidhjet $p, q$

$\displaystyle{x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$\displaystyle{x_{1/2}=\frac{13\pm\sqrt{13^2-4\cdot1\cdot 36}}{2\cdot 1}}$

$\displaystyle{x_{1/2}=\frac{13\pm\sqrt{169-144}}{2}}$

$\displaystyle{x_{1/2}=\frac{13\pm5}{2}}$

$\displaystyle{x_{1}=\frac{13-5}{2}}$

$\displaystyle{x_{1}=\frac{8}{2}}$

$\displaystyle{x_{1}=4}$

$\displaystyle{x_{2}=\frac{13+5}{2}}$

$\displaystyle{x_{2}=\frac{18}{2}}$

$\displaystyle{x_{2}=9}$

Pra $p=x_1=4$ dhe $q=x_2=9$

Tani zëvenedësojmë $p, q$ në $\sqrt{p}+\sqrt{q}-\sqrt{p\cdot q}$

Kemi, $\sqrt{4}+\sqrt{9}-\sqrt{4\cdot 9}= 2+3-6=-1$
Pyetja 12
Për çfarë vlere të $x$ -it funksioni $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$ ka vlerë maksimale ?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Zgjidhje:
Pyetja 13
Në qoftëse $x >1$ , atëherë cila nga shprehjet e dhëna :

I. $\displaystyle{x-\frac{1}{x}}$

II. $\displaystyle{\frac{1}{x^2-x}}$

III. $\displaystyle{4x^3-2x^2}$

rriten me zmadhimin e $x$ –it ?

A. Vetëm I
B. I dhe II
C. I dhe III
D. Vetëm III
Pyetja 14
Sa duhet të jetë vlera e parametrit $A$ , në ekuacionin e drejtëzës $Ax + y - 4 = 0$ , në mënyrë që kjo drejtëz ta pret boshtin $Oy$ me segment dy herë më të madh se boshtin $Ox$ ?

A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
Pyetja 15
Cili është domeni i funksionit $f (x) = \arcsin(2x -3)$ ?

A. $1\leq x \leq 2$
B. $-1\leq x \leq 3$
C. $1\leq x \leq -3$
D. $-1\leq x\leq 2$
Pyetja 16
Sa është syprina e trekëndëshit i cili formohet prej drejtëzave $y =x, y = 0$ dhe $y =-x + 4$ ?

A. $S = 2$
B. $S = 4$
C. $S = 6$
D. $S =8$
Pyetja 17
Është dhënë shprehja $\displaystyle{\frac{x+yi}{i}}$ i, ku $x, y$ janë numra realë ndërsa $i$ është njësi komplekse. Sa është vlera e $(x - y i) \cdot (x + y i)$ ?

A. 5
B. 13
C. 17
D. 25
Pyetja 18
Sa rrafshe mund të përcaktohen prej 10 pikave nëse jo më shumë se tri pika jokomplanare?

A. 10
B. 30
C. 60
D. 120
Pyetja 19
Në hambar ka 100kg grurë dhe thekër, 10% është thekër. Sa kg grurë duhet shtuar që përmbajtja e thekrës të jetë 4% ?

A. 100 kg
B. 115 kg
C. 125 kg
D. 120 kg
Pyetja 20
Janë dhënë vektorët $a = (3, 1, m)$ dhe $b = (m, 1, - 2)$ . Sa është vlera e parametrit $m$ në mënyrë që vektorët të jenë normal ?

A. $m =-2$
B. $m =-1$
C. $m =1$
D. $m = 2$
Pyetja 21
Është dhënë $\displaystyle{x\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right]}$ . Cili nga inekuacionet është i saktë ?

A. $\cos x \leq \sin x$
B. $\cos x \geq \sin x$
C. $\sin x < \cos x$
D. $\sin x > \cos x$
Pyetja 22
Sa është vlera e $\displaystyle{\lim_{x\to -1}\frac{x^3+1}{\sin(x+1)}}$ ?

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Zgjidhje:
Pyetja 23
Në testin e matematikës janë dhënë 20 detyra me numër rendor prej 1 deri 20. Nëse rastësisht zgjedhet një detyrë, atëherë sa është probabiliteti që detyra e zgjedhur rastësisht ka numrin rendor të plotëpjestueshëm me 4 ?

A. $\displaystyle{\frac{1}{4}}$

B. $\displaystyle{\frac{1}{5}}$

C. $\displaystyle{\frac{1}{10}}$

D. $\displaystyle{\frac{1}{20}}$

Zgjidhje:

Numrat nga 1-20 qe plotepjestohen me 4 jane

$4, 8, 12, 16, 20$

Pra, gjithsej 5 numra

Probabiliteti eshte $\displaystyle{\frac{5}{20}=\frac{1}{4}}$
Pyetja 24
Cilat janë zgjidhjet e ekuacionit $\displaystyle{\sin{x}-\sin{\frac{x}{2}=0}$ per $0\leq x\leq\pi$ ?

A. $\displaystyle{x=1, x=\frac{3\pi}{4}}$

B. $\displaystyle{x=0, x=\frac{2\pi}{3}}$

C. $\displaystyle{x=0, x=\frac{5\pi}{3}}$

D. $\displaystyle{x=-1, x=\frac{4\pi}{3}}$

Zgjidhje:
Pyetja 25
Funksioni $y=\sqrt{1-x^2}$ është i përkufizuar për:

A. $x\in(-\infty,+\infty)$
B. $x\in[-1,1]$
C. $x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
D. $x\in(-\infty,-1)\cup(-1,+1)\cup(1,+\infty)$
Pyetja 26
Sa është vlera e shumës $\displaystyle{S=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots}$ ?

A. $0$

B. $1$

C. $\displaystyle{\frac{2}{3}}$

D. $\displaystyle{\frac{3}{2}}$

Zgjidhje:
Pyetja 27
Cila është forma trigonometrike e numrit kompleks $z=1-i$ ?

A. $\displaystyle{z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)}$
B. $\displaystyle{z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\right)}$
C. $\displaystyle{z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)}$
D. $\displaystyle{z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)}$

Zgjidhje:

Forma trigonometrike e numrit kompleks eshte $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ ku

$\displaystyle{r=\sqrt{x^2+y^2}$ , $\theta=\arctan\frac{y}{x}}$

Ne rastin tone $z=1-i \Rightarrow x=1, y=-1$

Gjejme modulin $r$

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

Tani gjejme argumentin $\theta$

$\displaystyle{\theta=\arctan\frac{y}{x}=\arctan\frac{-1}{1}=\arctan{-1}=-\frac{\pi}{4}}$

Zevendesojme $r=\sqrt{2}$ dhe $\theta=\displaystyle{-\frac{\pi}{4}}$ ne $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

Kemi, $\displaystyle{z=\sqrt{2}\left(\cos-\frac{\pi}{4}+i\sin-\frac{\pi}{4}\right)}$
Pyetja 28
Është dhënë funksioni $f(x)=\displaysstyle{\frac{3x-2}{x-1}}$ . Sa është $f^{-1}(x)$

A. $f^{-1}(x)=\displaystyle{\frac{x-2}{x-3}}$
B. $f^{-1}(x)=\displaystyle{\frac{2x-3}{x+1}}$
C. $f^{-1}(x)=\displaystyle{\frac{x+3}{x+2}}$
D. $f^{-1}(x)=\displaystyle{\frac{x-1}{3x-2}}$

Zgjidhje:

$y=\displaysstyle{\frac{3x-2}{x-1}}$

Shumezojme ane per ane me $(x-1)$

$y(x-1)=3x-2$

$xy-y=3x-2$

$xy-3x=y-2$

$x(y-3)=y-2$

$x=\displaystyle{\frac{y-2}{y-3}}$

Zevendesojme $x$ me $y$

$y=\displaystyle{\frac{x-2}{x-3}}$

Pra,

$f^{-1}(x)=\displaystyle{\frac{x-2}{x-3}}$
Pyetja 29
Nëse $|m^{\rightarrow}|=5, |n^{\rightarrow}=3|$ dhe $\displaystyle{\angle(m^{\rightarrow},n^{\rightarrow})=\frac{\pi}{3}}$ , sa është vlera e shprehjes $|m^{\rightarrow}+n^{\rightarrow}|$ ?

A. 6
B. 7
C. 8
D. 11
Pyetja 30
Cili prej diagrameve vijuese paraqet funksion ,, një – një” ?

A. I
B. II
C. III
D. IV

Zgjidhje:

Funksioni është një-një nëse

$f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$ ose nëse $x_1\not= x_2 \Rightarrow f(x_1)\not= f(x_2)$ .

Kështu, kushtin e mësipërm e plotëson diagrami IV.

11 Comments

Alma June 11, 2013 at 10:13 pm Reply

Zgjidhja e detyes se 7 eshte shume gabim sepse formal a^2 +b^2 nuk eshte e barabart me (a+b)(a+b)
- Faton April 27, 2014 at 8:39 am Reply
  
  Detyra e 7 mire eshte zgjidhur sepse vlene :
  a^2+1/a^2=(a+1/a)(a+1/a)-2.
  Si duket nuk po e vereni qeshte -2.
sahadete December 31, 2013 at 9:29 pm Reply

Alma te detyra e 7 a^2+b^2 eshte e barabart me (a+b)(a-b)
habib April 26, 2014 at 3:42 pm Reply

E 7ta detyr osht gabim mir e ki alma
- jehona April 27, 2014 at 10:24 pm Reply
  
  #Alma dhe #Habib sa keq qe mendoni qe dini matematike.Gabimet e tilla te juajat nuk lejohen ne matematike e sidomos ne detyra te tilla kaq te lehta.Faton (Y)
habib May 11, 2014 at 7:19 pm Reply

Ti jehon mos ma tesh fort
Pal Zefi May 25, 2014 at 3:39 pm Reply

sot e pashe per here te pare
habib June 3, 2014 at 8:44 pm Reply

qka pe per her tpar o pal zefi ore
Qendrim Gashi June 25, 2014 at 10:32 pm Reply

Detyra nr. 10: f(x)=-x^3+3x+2
Pergjigjja e sakt eshte A, sepse ky funksion eshte funksion tek, ku me se lehti verehet nese paraqitet grafiku i fuksionit ne fjale.
Ensar June 25, 2014 at 10:46 pm Reply

Sa per detyren 7, mas lehti ish kon nese e kishit zevendesu sinx=a, dhe 1/sinx=b atehere osht edhe ma leht per me kuptu se a vlen kjo menyr qysh u bo detyra, sepse dihet se (a+b)*(a+b)=(a+b)^2, pra ekuacioni merr formen a^2+b^2=(a+b)^2 ku siq dihet kto dy shprehjet e fundit ne ket barazim nuk jane te barabarta, sepse anes se majte i mungon edhe “2ab”, dmth detyra osht e zgjidhun GABIM!!!
Drini June 26, 2014 at 10:05 pm Reply

$7 sin(x)= a

a^2+(1/a^2)=[a^2+2a*(1/a)+(1/a^2)]-2a*(1/a)
=[a+(1/a)]^2-2
=(1/2)^2-2
=(1/4)-2
= -7/4